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created: 2026-10-08
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- 沪教版教参选择性必修第一册·第3章
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- 数学/教参
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- 上海高考数学
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source: 沪教版教参选择性必修第一册.md（原文件第 2419–2976 行）
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# 第 3 章 空间向量及其应用
> 拆分自 [[沪教版教参选择性必修第一册]] · **第 3 章 空间向量及其应用**（原文件第 2419–2976 行）。
> 正文、公式与图片引用逐字保留；标题按语义重算层级，OCR 噪声前缀（页码/页边框）已清理。
## 一、本章概述
### 总体要求
我们生活在三维空间中, 空间向量或者说三维空间中的向量理论是从几何直观角度讲述向量的最高境界了. 空间向量知识是平面向量知识的延伸与拓展, 从概念理解到问题解决, 或可直接化归到平面向量, 或可对平面向量的理论进行类比与提升. 因此, 本章的学习, 特别要帮助学生在复习平面向量的基础上, 理解空间向量的概念、 运算、基本定理和应用, 体会平面向量和空间向量理论上的一脉相承, 掌握它们的共性和差异.
正如必修课程第 8 章“平面向量”的章首语所说, 向量理论“可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理”. 在“平面向量”一章, 由于只能处理平面上的问题, 学生对向量这一化几何问题为代数问题的神奇功能和强大威力可能体会还不深刻. 本章中, 向量将为处理立体几何问题展现新视角, 把许多三维空间中的逻辑推理和度量问题归结到向量的计算, 使向量方法成为研究几何问题的有效工具. 因此, 本章学习的另一个要求是, 使学生能运用空间向量方法研究空间基本图形的位置关系和度量问题, 体会向量方法和纯几何方法在研究立体几何问题中的共性与差异, 进一步发展空间想象能力和几何直观能力.
### 课时安排建议
本章的课时安排建议为 10+2 ,共计 12 课时. 建议如下:
| 章节名 | 建议课时 | 具体课时分配建议 |
| 3.1 空间向量及其运算 | 2 | |
(续表)
| 章节名 | 建议课时 | 具体课时分配建议 |
| 3.2 空间向量基本定理 | 2 | 向量共面的充要条件 1 课时 |
| 空间向量基本定理 1 课时 |
| 3.3 空间向量的坐标表示 | 2 | 空间直角坐标系 1 课时 |
| 空间向量的坐标表示 1 课时 |
| 3.4 空间向量在立体几何中的应用 | 4 | 判断空间直线、平面的位置关系 1 课时 |
| 求距离 1 课时 |
| 求角的大小 2 课时 |
| 复习与小结 | 2 | |
### 内容编排与特色
本章内容共分为四节, 分别是 3.1 空间向量及其运算, 3.2 空间向量基本定理, 3.3 空间向量的坐标表示, 3.4 空间向量在立体几何中的应用. 其中, 前三节建立起空间向量的基本理论, 最后一节介绍空间向量的应用.
“3.1 空间向量及其运算”没有按常规给出空间向量及其运算的定义, 证明相关的性质, 而是采用直接引用平面向量内容的方法, 把貌似庞杂的空间向量及其运算的内容快速地在一节内解决. 这里的逻辑是:(1)单个向量的问题无所谓“平面”与“空间”, 所以向量的定义、向量的模、单位向量、零向量、负向量以及向量的数乘运算等定义和性质都可以直接套用平面向量的内容; (2)共面向量的问题都可以归结为平面向量问题, 特别地, 因为两个向量一定共面, 所以只涉及两个向量的问题可以直接用平面向量理论解决, 这样就可以定义平行向量、相等向量、向量的加减法和向量的数量积; (3)与上述定义相关的一些性质 (如向量加法的结合律、向量加法的“首尾规则”、 向量的数量积对向量加法的分配律), 虽然涉及三个向量, 但 “局部地”看待问题, 都可以化归到共面的情况.
空间向量理论中直接可以化归到平面向量的内容基本都囊括在 3.1 节中, 3.2 节和 3.3 节所涉及的是不能直接化归的主题. 但这样的主题也不是与平面向量毫无关系, 而是在平面向量理论的基础上进行类比与提升.
“3.2 空间向量基本定理”所涉及的空间向量基本定理就是必修课程 8.3 节第 1 小节“ (平面) 向量基本定理”的类比与提升. 第 1 小节 “向量共面的充要条件”实际上是必修课程中平面向量基本定理的复习与 (在空间向量背景下的) 再现, 并为第 2 小节“空间向量基本定理”的证明作一些准备. 通过与平面向量的类比,第 2 小节给出了 “空间向量基本定理”并加以证明. 由于有了 “空间向量基本定理”,我们才可能建立空间向量的坐标表示.
“3.3 空间向量的坐标表示”,为了建立空间向量的坐标表示,我们必须有三维空间的坐标系. 这本是数学体系的“基本建设”,独立于向量内容,但由于空间解析几何不是本套教材的内容, 空间坐标系的内容在此之前没有出现过, 因此我们不得不花一小节做补缺补漏工作, 这就有了以“空间直角坐标系”为标题的 3.3 节第 1 小节. 空间直角坐标系是平面直角坐标系的拓展. 教材以正方体为基本模型, 采用“右手制”方法构建空间直角坐标系, 并定义了必须的相关概念, 特别是建立了空间中的点与实数的有序三元组的一一对应关系, 于是有了空间中点的坐标的概念. 有了这一“基本建设” 之后,3.3 节第 2 小节就进入了“空间向量的坐标表示”主题. 仿照平面向量的坐标表示, 利用空间向量基本定理, 把空间的向量都表示成了坐标轴正方向上的单位向量的线性组合, 其系数就给出了空间向量的坐标表示. 与平面向量的坐标表示类比, 空间向量的和差、数乘、模以及数量积均有简洁的坐标形式, 并进一步推出空间两点的距离公式、空间向量夹角的余弦公式, 给出空间向量平行、垂直的充要条件, 为后续解决立体几何问题奠定了基础.
“3.4 空间向量在立体几何中的应用”介绍了空间向量在立体几何基本问题中的应用. 前面已经学习了两向量平行、垂直的判断及向量共面内容, 在此基础上, 本节着重关注“判断空间直线、平面的位置关系”“求距离”和“求角的大小”三类问题.
把几何问题转化为向量问题的关键是找出与几何对象密切相关的向量, 本节的引言指出了这些相关向量: 直线的方向向量和平面的法向量. 第 1 小节“判断空间直线、 平面的位置关系”就是把线线、线面和面面的垂直或平行的判定归结到相关向量的垂直或平行的判定. 第 2 小节“求距离”包含了求点到平面的距离、平面的平行线到平面的距离以及平行平面间的距离, 其中关键是点到平面的距离, 其余的都可归结到这种情况. 给定点 $A$ 与平面 $\alpha$ ,在 $\alpha$ 上任取一点 $B$ ,向量 $\overrightarrow{AB}$ 与平面 $\alpha$ 的单位法向量数量积的绝对值就给出了点 $A$ 到平面 $\alpha$ 的距离,这样我们就解决了上述所有的求距离问题. 第 3 小节“求角的大小”包括线线(含异面直线)所成的角、线面所成的角和面面所成的角(即二面角)的问题. 利用直线的方向向量和平面的法向量, 将这些问题都转化为向量的夹角问题, 但这个夹角与原来要求的角的关系要分类讨论.
### 教学提示
本章的教学中, 注意与必修课程第 8 章“平面向量”的密切联系, 在进一步回顾和体会“平面向量”内容的基础上,分析哪些知识可以直接转移到空间向量的语境,哪些知识必须加以改造以适合空间向量的语境. 从这个视角展开这一章的学习, 可以做到事半功倍, 高屋建瓴, 让学生站在理论体系的高度理解和掌握所学的知识.
在对平面向量理解的基础上, 获得空间向量的概念, 建立从平面向量到空间向量的双向通道: 一是“向上”的通道, 即把向量的定义、向量的模、零向量、相等向量、 平行向量、负向量、单位向量等概念以及向量的加、减、数乘、数量积等运算的定义直接提升到空间向量的语境,理解这种提升的合理性和数学上的严格性；二是“向下” 通道, 只要是共面向量的问题, 都可以用平面向量的理论和方法予以解决. 特别地, 任意两个向量都是共面的(所以没有“异面向量”概念,与立体几何有很大的差别,让学生想想为什么), 任何只涉及两个向量的问题都是平面向量问题.
理解空间向量基本定理和空间向量的坐标表示不可能直接归结为平面向量的问题, 但学生并不缺乏从二维平面到三维空间的经验, 可以让他们从平面向量的问题中获得启发, 想象空间向量语境下对应结论的表述, 然后教师和学生一起完成从平面到空间的拓展和推广. 这也是一个“向上”的通道.
在向量的理论学习时就要让学生注意到向量既有几何特征也有代数特征, 让学生理解把向量的几何特性(平行、垂直、夹角等)转化为坐标的计算就是一种数形结合的思想. 在此基础上, 解决几何问题时, 让学生找到关键的向量, 把几何论证和度量问题转化为向量的问题, 通过与向量相关的推理和计算, 解决几何问题, 这是 3.4 节的基本内容和基本方法. 这个方法常常被称为解决几何问题的“向量方法”, 它往往比纯粹几何方法更简洁、更有效. 但在教学中, 要避免学生只关注于程序化的向量计算, 而忽略几何问题的实质和所提供的空间观念的训练.
### 评价建议
要注意学生对平面向量知识的复习, 然后在从平面走向空间的学习过程中, 注重空间观念的进一步形成和用向量方法解决几何问题的观念的建立.
空间向量理论的基本框架完全平行于平面向量理论, 因此要考查学生对于向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积, 以及空间向量基本定理与空间向量的坐标表示等方面知识的掌握情况. 向量共面要得到足够的重视, 考查学生是否能灵活应用共面概念,把空间向量的问题化归为平面向量问题来讨论. 空间向量的学习要继续平面向量学习过程中对数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科核心素养的培养, 聚焦于这些素养的考查.
空间向量与立体几何有密切的联系, 要关注学生在解决立体几何问题中向量工具正确、有效的使用,能把教材所列举的几类立体几何问题转化为向量问题,以向量的运算研究点、线、面之间的位置关系或距离与角度, 用运算结果解释几何意义.
#### 二、教材分析与教学建议
##### 3.1 空间向量及其运算
### 教学重点
通过平面向量的复习, 让学生建立起平面向量和空间向量的密切联系, 把平面向量上已经建立起来的向量概念及其运算的知识迁移到空间向量. 向量共面的概念在本节第一次提出,下一节还会深入学习. 本节要让学生明白,“共面”是把空间向量问题归结为平面向量处理的关键. 还要让学生理解任意两个向量都是共面的(让学生讲出为什么,要让他们体会空间向量理论与立体几何的差异).
### 内容分析
让学生回忆必修课程 8.1 节关于向量的定义是很有意义的. 那里给向量下定义有一个从描述性到比较严格的数学定义的“三部曲”: 第一步是描述性的“既有大小又有方向的量”; 第二步明确地说 “一个向量由两个要素定义, 一是它的大小 (一个非负实数),一是它的方向”(这一章的教学参考资料中用更数学化的术语“二元组”把这句话演绎成严格的数学定义了); 第三步是给出向量的几何表示, 即用有向线段来表示向量, 使向量的研究有一个几何的基础. 回忆这个过程不是简单地复习旧知识, 而是提醒学生注意整个“三部曲”不是只给“平面向量”下定义, 而是给“向量”下定义, 因此这个定义同等地适用于空间的任何向量. 至于在 “平面向量” 章名下研究的是什么, 在必修课程 8.1 节有交代: “本章只研究在一个平面上的向量,就是要求所涉及的所有向量都能用同一个平面上的有向线段表示出来. ”
从这个回顾可以看出:
(1)单个向量的问题无所谓“平面”与“空间”,所以向量的定义、向量的模、单位向量、零向量、负向量以及向量的数乘运算等定义和性质都可以直接套用平面向量的内容.
(2)多个向量只要在一个平面上,就可以归结为平面向量问题. 因此,自然引入 “共面向量”的概念. 特别地, 任意两个向量都是共面的. 这样, 只涉及两个向量的问题都是平面向量问题, 所以平行向量、相等向量、向量的加减法和向量的数量积都可以从平面向量中直接借用.
(3)要证明一些运算的规律和性质,有时仅讨论两个向量是不够的,因为难以保证所涉及的向量共面, 所以关于平面向量的结论不能直接套用到空间向量上, 比较典型的例子有向量加法结合律以及向量的数量积对向量加法的分配律. 这些问题的解决要靠“局部”的方法,即先考虑涉及的两个向量的问题,忽略其他向量,得出关于两个向量的中间结果后, 再加入向量继续讨论. 本册教材第 90 页给出了向量加法结合律的证明, 请教师细细体会这里“局部”一词的意义. 将证明加法结合律的方法略加推广, 就证明了空间向量加法的“首尾规则”.
在教材中, 向量的数量积对向量加法的分配律的证明是作为一道练习题(练习 3.1(2)的第 2 题)留给学生. 这道题的证明可以照搬平面的情形:必修第二册第 107 页上的例 2 完全适合于空间向量的情形 (只要把图 8-2-5 中 $\bigtriangleup {OBC}$ 看成空间的三角形就可以了) ${}^{\text{①}}$ ,然后照搬第 108 页上向量数量积对加法的分配律的证明.
本节共安排 4 道例题.
例 1 在正方体中体现空间相等向量、负向量, 体现向量的加法运算与 “首尾规则”, 结果都不难, 但是要求对前面知识进行系统复习. 特别注意, 第 (3)小题是开放题, 虽然教材提供了两个答案, 但教师可以在课堂上营造学生参与的机会, 让学生学得生动活泼, 也能提出更多的例子来阐释本节的基本概念.
例 2 要求用长方体中从一个顶点 $A$ 出发的三条边所对应的向量 $\overrightarrow{a}\text{、}\overrightarrow{b}\text{、}\overrightarrow{c}$ 的线性组合分别表示四个向量, 既是本节向量线性运算的问题, 也是下一节空间向量基本定理的预演. 如果课堂时间允许, 教师可以提出一些对下一节内容有启发性的思考题, 例如: “少了 $\overrightarrow{a}\text{、}\overrightarrow{b}\text{、}\overrightarrow{c}$ 中的一个向量, 是否还可以把所有这些向量都表示出来?” “所有这些线性组合的式子是不是唯一的?”
例 3 是向量数量积的问题. 因为空间任意两个向量共面, 所以这些问题本质上和平面向量问题是一样的. 但在空间情境下, 向量之间的关系更为复杂, 对学生空间感也有一定的要求. 同时, 还要注意本例 4 个小题难度设置上的递进: 第( 1 )小题在相关向量的模与夹角求出后, 直接套用向量数量积的公式即可; 第( 2 )小题要把向量分解成和式, 然后使用数量积对向量加法的分配律; 第(3)小题在第(2)小题的基础上再
图 3-R1
这个证明供教师参考, 不必作为课堂的教学材料或课后的阅读材料. 学生可以直接承认投影向量定义的推广. 用数量积公式来求向量所成的角; 第( 4 )小题要用向量的数量积来证明向量的垂直. 第(4)小题还可以利用立体几何中的三垂线定理证明,这可让学生体会空间向量与立体几何的互相影响和渗透.
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① 这里要把必修第二册第 106 页第一段中投影向量的定义直接推广到空间向量的情形. 这个定义其实隐含着有向线段投影的一个简单性质: 有向线段的平移不影响投影的大小与方向. 只有这样, 才可能把有向线段的投影直接定义为它所表示的向量的投影. 这在平面情形是个很显然的事实, 所以在必修第二册讲述平面向量时并没有在此花费笔墨. 在三维空间的情形, 如果碰到被投影有向线段和投影的目标直线异面时, 这一性质并不是一目了然, 因此可能会有教师或学生质疑必修第二册第 106 页的定义直接用到空间向量的合理性. 这里简述一个论证. 如图 3- $\mathrm{R}1$ ,要把有向线段 ${AB}$ 投影到直线 $l$ 上,我们过点 $A$ 与点 $B$ 分别作垂直于直线 $l$ 的平面 $\alpha$ 与 $\beta$ ,两平面与直线 $l$ 分别交于点 ${A}^{\prime }$ 与点 ${B}^{\prime }$ ,那么有向线段 ${AB}$ 在直线 $l$ 上的投影是 ${A}^{\prime }{B}^{\prime }$ . 我们把 ${AB}$ 平移到与直线 $l$ 共面的位置上,如果投影不变,那么把问题归结到平面的情形了. 过点 ${A}^{\prime }$ 作有向线段 ${A}^{\prime }{B}^{\prime \prime }$ 平行于有向线段 ${AB}$ ,交平面 $\beta$ 于点 ${B}^{\prime \prime }$ ,则由 $\alpha //\beta$ ,可推得 $A{A}^{\prime }//\beta$ ,再推得 $A{A}^{\prime }//B{B}^{\prime \prime }$ . 于是四边形 $A{A}^{\prime }{B}^{\prime \prime }B$ 是平行四边形,从而有向线段 ${A}^{\prime }{B}^{\prime \prime }$ 是有向线段 ${AB}$ 的平移. 但有向线段 ${A}^{\prime }{B}^{\prime \prime }$ 在直线 $l$ 上的投影依然是 ${A}^{\prime }{B}^{\prime }$ . 这是我们所需要的结果.
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例 4 是一个纯立体几何的题目, 要在一个平行六面体中证明三点共线. 设置此例题的目的是让学生尝试几何问题和向量问题的互相转换以及向量计算在几何证明中的作用. 启发学生从求证三点共线转为求证两向量平行, 即证明其中一个向量是另一个向量的数量倍数. 要得到这种倍数关系, 在例 2 启发下把所涉及的两个向量都表示成从一点出发的三条边向量的线性组合就是顺理成章的事了.
### 注意事项
尽管空间向量的定义、表示方法及相关概念都由平面向量的复习直接引入, 但要尽量结合空间图形对相应的概念和运算加以阐释, 加强学生的空间体验, 由向量及其运算的表述与图形的互相转换, 加深对空间向量的理解.
没有异面向量的概念, 即任意两个向量都是共面的. 但是, 表示两个向量的有向线段可以是异面的, 因此教学中要特别厘清向量和表示向量的有向线段的区别; 面对与向量相关的问题, 要善于找出更方便的有向线段来表示向量, 使问题解决过程更为简单. 另外, 几何上的异面直线问题, 用向量方法求解时就没有 “异面”的障碍, 解题也会更直截了当 (如例 3 第 (3) 小题,如果题目改为求线段 ${AE}$ 与 ${C}_{1}{A}_{1}$ 所成的角,就是异面直线问题了, 但用向量表达的原题就没有涉及异面直线).
向量平行的充要条件 (亦可称为“共线向量定理”) 与平面情形完全一样 (参看必修第二册第 100 页), 本章教材重述的一个重要的目的是为了紧随其后的例 4 的应用. 必须注意的是, 这里的“平行”指的是向量意义下的平行, 如考虑表示向量的有向线段的平行问题, 还要把重合的情况排除掉. 事实上, 例 4 证明了两个向量平行后, 由于相应的有向线段有公共的起点, 因此它们是重合的.
对向量的数量积谈结合律是没有意义的, 而不是满足不满足结合律的问题. 这在必修第二册第 108 页的边框中已经说得很清楚了. 还要注意同一个边框中说的, 向量的数量积不满足消去律. 消去律的不成立可以用一个极端的反例让学生有更深刻的体会:两个互相垂直的向量的数量积是 0 ,如果消去律成立,就会导致其中某个向量一定是零向量, 这显然是荒唐的.
### 教学建议
引导学生用类比的方法, 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程. 由平面向量相关内容的复习, 推广到空间向量的相应内容, 这个过程尽量让学生直接参与, 而不是疾风暴雨式地把所有内容灌输给学生.
#### 3.2 空间向量基本定理
### 教学重点
了解从“(平面)向量基本定理”到“向量共面的充要条件”的转化, 并进一步到“空间向量基本定理”的推广. 体会“向量共面”在解决向量问题中的作用,理解空间向量基本定理的内涵, 并能解决相关的问题.
### 内容分析
上一节把空间向量的概念和运算通过 “共面向量” 转化为平面向量问题, 借用平面向量理论使学生快速地建立起了空间向量理论的基本框架. 通过上一节的学习, 学生应当能够体会“共面向量”在解决空间向量问题时的重要作用. 本节教材趁热打铁,仍从 “向量共面”入手,先介绍 “向量共面的充要条件”.
“向量共面的充要条件”本质上是 “ (平面) 向量基本定理”在空间向量语境中的表述, 因此 “向量共面的充要条件” 这一小节既是必修课程 8.3 节第 1 小节的 “ (平面) 向量基本定理”的复习,也是后续介绍和证明“空间向量基本定理”的铺垫.
“空间向量基本定理”是“(平面)向量基本定理”在空间情形的推广,它的条件和结论都是“平面)向量基本定理”的类比,学生在理解上不会有大的困难. 这个定理是下一节“空间向量的坐标表示”的理论基础,必须加以重视.
本节共安排 3 道例题.
例 1 是“向量共面的充要条件”的直接应用, 要求在一个长方体内判断三个有向线段表示的向量是否共面, 其方法是通过一些直观的线性组合关系和向量的运算, 得到三个向量中的一个是其余两个的线性组合, 从而它们共面.
本例虽然简单, 但教师要“借题发挥”, 给学生一些启发. 一是, 空间中的几何直观对解题很重要, 学生要在学习过程中培养; 二是, 向量的共面不是立体几何中的线段的共面, 要特别注意.
例 2 给出了空间线面垂直判定定理的向量证明方法, 利用向量共面的充要条件和互相垂直向量的数量积为零的结论, 比较简单地证明了空间线面垂直判定定理.
本例是向量方法在立体几何中的一个应用, 可以看出向量方法有时有明显的优势. 除了这个例题外, 上一节的例 4 也是几何问题的向量解法. 又如, 立体几何中的四点共面就可以用 “向量共面的充要条件” 加以解决: 从四点中的一点出发, 分别作连接其余三点的三个向量, 则四点共面当且仅当所得到的三个向量共面.
例 3 是在正四面体中, 用三个不共面的棱向量的线性组合表示其他棱向量和高向量的问题. 本例解题过程开放, 答案多样, 提供学生理解和熟悉 “空间向量基本定理” 的机会. 注意, 题目要求所选的三个不共面向量所在的棱可以有公共点, 也可以没有公共点. 当然, 对于三个不共面向量而言, 总可以平移到有公共端点的位置, 但对本例而言, 这样的平移未必是解题的最佳方案. 依托正四面体的几何结构, 找出向量之间的关系,是更为直截了当的.
### 注意事项
本节中的“空间向量基本定理”是在最一般的意义下叙述的, 没有给三个不共面向量添加额外的要求, 不要求它们互相正交, 也不要求它们是单位向量. 从这个角度看, 这个定理远远超过了为向量的坐标表示提供理论基础的作用. 但这种一般形式的基本定理, 在向量理论内部和向量的应用上都是有意义的. 因此, 本节要让学生体会一般的情况,不应提出“正交”问题 (例 3 设置为正四面体,也隐含着这种想法).
空间的图形可以非常复杂, 也大多可以用来讨论其中的向量关系. 但我们坚决反对这样的做法. 一般而言, 要求学生能够基于常见的图形理解和处理向量的关系就可以了.
向量在立体几何中的应用, 3.4 节会专门讨论, 本节不要纠缠和深化. 例如, 空间四点共面的判定是 “向量共面的充要条件” 的直接推论, 用一句话交代一下未尝不可 (前面已经作了这个交代), 不宜再写出复杂形式的“空间四点共面判定”的定理, 让学生难以理清其中的关系,徒增负担.
### 教学建议
“向量共面的充要条件”本质上是“(平面)向量基本定理”在空间向量语境中的表述. 更准确地说,“向量共面的充要条件”中的必要条件(“共面”⇒“线性组合”)就是 “(平面)向量基本定理”. 而“向量共面的充要条件”中的充分条件(“线性组合”)。_____ 面”) 在平面向量的情况下是一句废话,因为平面向量理论只讨论“能用同一个平面上的有向线段表示出来”的向量 (见必修教材第二册第 94 页),用现在的术语说,就是只讨论共面向量, 因此 “(平面) 向量基本定理” 中没有必要把这个充分条件说出来, 也就不需要采取 “充要条件” 的表述形式. 在空间向量的情形下, 上述充分条件也是一个平凡的结论, 其证明非常简单 (见本册教材第 96 页).
由于“向量共面的充要条件”与“件平面)向量基本定理”的密切联系,本节教学应该从“(平面)向量基本定理”的回顾开始,引导学生从“(平面)向量基本定理”得到“向量共面的充要条件”.
再进一步启发学生,既然 “ (平面) 向量基本定理” 只相当于 “向量共面的充要条件”,无法描述空间的任意向量,那么在空间向量理论中是否可以建立类似于“(平面) 向量基本定理”的“基本定理”呢? 可以启发学生: 共面向量的线性组合都只能产生共面向量, 因此要表示出所有空间向量, 一定要有不共面的向量, 从而至少要有三个向量. 上一节例 2 提示三个不共面的向量能够达到目的, 这就自然地引入了 “空间向量基本定理”的表述.
如前所述, 学生对 “空间向量基本定理”在理解上不会有大的困难, 但和平面情况相比, 证明难度增加不少. 特别地, 其中线性组合存在性的证明主要是立体几何的演绎方法, 且脱离开了本教材所常用的平行六面体图形, 但它的基本思路与上一节没有本质的区别:把问题“局部地”化归为平面问题,然后用“(平面)向量基本定理”(或者说“向量共面的充要条件”)逐步地解决问题.
#### 3.3 空间向量的坐标表示
### 教学重点
了解空间直角坐标系, 感受建立空间直角坐标系的必要性, 会用空间直角坐标刻画点的位置.
掌握空间向量的坐标表示, 掌握坐标表示下空间向量线性运算的计算公式, 掌握坐标形式下空间向量数量积的计算公式及其变形.
### 内容分析
第 1 小节定义空间直角坐标系. 如前所述,这本是数学体系的“基本建设”,独立于向量内容, 但由于空间解析几何不是本套教材的内容, 空间坐标系的内容在此之前没有出现过, 因此我们不得不用这一小节做补缺补漏工作.
与平面直角坐标系类比, 三条两两正交的坐标轴、三个坐标平面、八个卦限等概念虽需要一定的空间想象力来理解, 但也都是顺理成章的. 对学生而言, 可能有两个难点. 一是坐标系的制式. 应告诉学生这是为了建立规范而作的约定, 教材中约定了坐标系采用右手制, 并用学生非常熟悉的“点赞”手势表明了这一制式下三个坐标轴正向的指向, 有利于学生记忆和使用. 还可以告诉学生, 平面直角坐标系也有制式问题,从 $x$ 轴正向逆时针转 ${90}^{ \circ }$ 到 $y$ 轴正向的坐标系也是 “右手制” 的,可以用人的右手拇指与食指的关系来说明(图 3-R2). 我们也可以用如图 3-R3 所示的右手拇指、食指和中指的关系来说明右手制空间直角坐标系.
图 3-R2 平面右手制坐标系
图 3-R3 空间右手制坐标系
在空间直角坐标系中确定点的坐标需要学生有一定的空间想象能力, 所以这可能成为学生的另一个难点. 教材采用以给定点为一个顶点作与坐标平面围成的长方体的方法求得点的坐标, 这也是平面情形的推广. 在平面情形, 点的坐标可以看成是用以给定点为一个顶点作与坐标轴围成矩形的方法得到的. 当然, 平面情形更容易理解的是过给定点作坐标轴的垂线而得到. 这样来定义空间点的坐标也是可行的, 本册教材第 102 页的边框有这个说明, 其理由是: 垂直于一条给定直线的平面中的任何直线都垂直于给定直线.
有了空间直角坐标系, 就可以类比平面向量的坐标表示, 引出空间向量的坐标表示, 使向量的线性运算、模以及数量积都可以用很简洁的公式表达出来. 这些公式推导过程简单, 容易记忆, 方便使用, 是向量在几何以及其他领域应用的基础.
平面向量和空间向量的坐标表示是对高维向量定义的启示. 不过, 高维向量的学习要到大学的线性代数(或高等代数)课程中了.
本节有两道例题.
例 1 是求空间直角坐标系中点关于某个平面的对称点, 是为学生熟悉空间直角坐标系而设计的. 教材首先作了长方体关于平面的对称长方体,给出空间直角坐标系找对称点的一个方法. 在构造这个对称图形的过程中, 用到了关于直线的对称点, 所以解题的基本思路是将关于平面的对称问题转化为关于直线的对称问题. 此问题当然也可以设计成关于原点对称或关于坐标轴对称的问题. 不过空间直角坐标系在本章中只是“补缺补漏”的角色,这类练习不宜过分.
例 2 是学习了空间向量的坐标表示后, 求向量夹角的余弦值以及求证向量垂直, 解题方法是坐标的简单运算.
### 注意事项
把向量终点坐标直接作为向量坐标的前提是向量的起点是坐标原点 $O$ ,即这个向量必须是位置向量. 如果向量 $\overrightarrow{PQ}$ 的端点坐标分别为 $P\left( {{x}_{1},{y}_{1},{z}_{1}}\right)$ 与 $Q\left( {{x}_{2},{y}_{2},{z}_{2}}\right)$ , 要得到向量 $\overrightarrow{PQ}$ 的坐标,按定义必须先把向量平移,使点 $P$ 落到坐标原点 $O$ 上. 但下面的公式使用起来更为方便:
$$
\begin{aligned} \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = \left( {{x}_{2},{y}_{2},{z}_{2}}\right) - \left( {{x}_{1},{y}_{1},{z}_{1}}\right) & \\ = \left( {{x}_{2} - {x}_{1},{y}_{2} - {y}_{1},{z}_{2} - {z}_{1}}\right) . & \end{aligned}
$$
### 教学建议
空间直角坐标系是平面直角坐标系的类比, 同时又是从生活中常见的长方体、正方体等几何体抽象出来的.
作为空间概念的空间直角坐标系的建立, 需要尽可能创设生活中熟悉的场景, 借用立体几何常见的图形, 采用观察、画图、想象, 逐步形成带坐标构架的空间的观念.
空间向量的坐标表示, 教学中可以从平面到空间作类比推广. 向量的坐标表示本质上是一样的, 向量的线性运算和数量积也都与平面向量具有类似的法则, 只是表达形式略微复杂而已. 这一推广过程应尽量让学生自行经历.
#### 3.4 空间向量在立体几何中的应用
### 教学重点
理解并掌握通过空间向量的运算, 解决立体几何问题的方法, 会用向量方法判断空间线面位置关系、计算距离和空间各种角的大小.
### 内容分析
立体几何所讨论的对象是空间的点、直线、平面等元素, 本节我们需要将它们与向量建立联系. 教材首先介绍与直线密切相关的向量——直线的方向向量,以及与平面密切相关的向量——平面的法向量,并指出用向量方法解决有关直线和平面的问题, 一般先把相应的问题转化为关于这些向量的问题然后加以解决. 相对于纯几何方法, 向量方法只要考虑方向向量与法向量的关系即可, 基于所建立的向量理论, 很多问题可以转化为关于向量的计算, 降低了演绎推理的难度.
本节教材有三个小节,分别是空间中的直线、平面平行和垂直关系的判断,求点到平面的距离 (以及平面的平行线到平面的距离、平行平面间的距离), 求角 (包括空间直线所成角、直线和平面所成角和二面角) 的大小.
本节各小节都以精选的具有典型性的例题贯串, 在例题的前后总结出具有一般意义的命题或公式, 指导学生在解决类似问题时直接引用.
第 1 小节“判断空间直线、平面的位置关系”有两道例题:
例 1 是立体几何中的“三垂线定理”的向量证明, 把直线的垂直问题转化为方向向量的垂直问题, 再用向量理论中证明向量垂直的常用方法 (证明向量的数量积为 0 ) 加以证明. 这个定理曾用纯几何方法证明过(必修第三册 10.3 节第 4 小节). 让学生比较两个不同的证明, 体会向量方法和纯几何方法的差异.
例 2 是在一个正方体中判定线面垂直、面面平行. 有了正方体(或更一般的长方体), 常常会选择以一个顶点作为坐标原点, 以此顶点出发的三条棱所在直线作为坐标轴建立空间直角坐标系, 写出各顶点的坐标以及相关直线的向量表示, 这样证明垂直或平行不过是一些简单的数值计算. 本例第( 1 )小题就是这样处理的; 第( 2 )小题是第(1)小题的直接推论.
结合这两道例题, 教材列出了直线、平面的平行与垂直用向量语言表达的三个充要条件:
(1)两条直线平行的充要条件是它们的方向向量平行; 两条直线垂直的充要条件是它们的方向向量垂直.
(2)直线和平面垂直的充要条件是直线的方向向量为平面的法向量；不在平面上的一条直线和平面平行的充要条件是直线的方向向量垂直于平面的法向量.
(3)两个平面垂直的充要条件是它们的法向量垂直；两个平面平行的充要条件是它们的法向量平行.
第(3)点中的前半部分也可以改述为:两个平面垂直的充要条件是其中一个平面过另一个平面的法向量. 本章教材中的内容提要就是这样叙述的(本册教材第 119 页).
第 2 小节“求距离”中不能简单地把直线问题转化为直线的方向向量问题、把平面问题转化为平面的法向量问题, 这是因为向量可以在空间中平移, 所以没有向量间距离的概念, 平行的直线、平面间的距离不能直接转化为向量问题, 但在解决问题过程中, 向量依然发挥重要作用. 本节的例题包括点到平面的距离、平面的平行线与平面的距离以及两个平行平面间的距离. 后两个距离归结到点到平面的距离, 因为平面的平行线与平面的距离就是平行线上一点到平面的距离, 两个平行平面间的距离就是其中一个平面上一点到另一个平面的距离.
求点到平面的距离的具体做法是: 先连接给定点到平面上任意一点, 所得到的线段在平面法向量方向上投影的模就是点到平面的垂线段的长, 即点到平面的距离. 于是,任意给定一点 $A$ 到平面的距离 $d$ 由公式
$$
d = \frac{\left| \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB}\right| }{\left| \overrightarrow{n}\right| } = \left| {\overrightarrow{{n}_{0}} \cdot \overrightarrow{AB}}\right|
$$
①
给出,其中 $\overrightarrow{n}$ 是平面的一个法向量, $\overrightarrow{{n}_{0}}$ 是 $\overrightarrow{n}$ 的单位向量, $B$ 是平面上的任意一点.
例 3 第(1)小题是直接应用公式①求点到平面的距离,不过求平面的法向量要用待定系数法, 并且所列的方程组有无数组解 (这不奇怪, 平面的法向量有无数个), 任取一个就行. 例 3 第 (2) 小题求平面的平行线与平面的距离, 化为点到平面的距离问题.
例 4 求两个平行平面间的距离, 也化为求点到平面的距离问题. 求法向量时也要用到待定系数法, 并有不唯一的解. 前面已经说过, 不再重复.
第 3 小节“求角的大小”中的“角”包含了两条直线所成的角、直线和平面所成的角以及二面角的平面角. 所有的问题都化为求向量位直线的方向向量、平面的法向量) 的夹角问题,所以可以使用向量 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 的夹角余弦公式
$$
\cos \langle \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\rangle = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a}\right| \left| \overrightarrow{b}\right| }.
$$
②
分析所得到的向量夹角与我们所要求角的关系, 结合公式②, 教材给出以下三个公式:
如果两条直线的方向向量分别是 $\overrightarrow{{r}_{1}}$ 与 $\overrightarrow{{r}_{2}}$ ,那么这两条直线所成角 $\theta$ 的大小决定于公式
$$
\cos \theta = \frac{\left| \overrightarrow{{r}_{1}} \cdot \overrightarrow{{r}_{2}}\right| }{\left| \overrightarrow{{r}_{1}}\right| \left| \overrightarrow{{r}_{2}}\right| }
$$
③
如果直线的方向向量是 $\overrightarrow{r}$ ,平面的法向量是 $\overrightarrow{n}$ ,那么直线与平面所成角 $\theta$ 的大小决定于公式
$$
\sin \theta = \frac{\left| \overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{n}\right| }{\left| \overrightarrow{r}\right| \left| \overrightarrow{n}\right| }.
$$
④
如果两个平面的法向量分别是 $\overrightarrow{{n}_{1}}$ 与 $\overrightarrow{{n}_{2}}$ ,那么这两个平面所成锐二面角(或直二面角) $\theta$ 的大小决定于公式
$$
\cos \theta = \frac{\left| \overrightarrow{{n}_{1}} \cdot \overrightarrow{{n}_{2}}\right| }{\left| \overrightarrow{{n}_{1}}\right| \left| \overrightarrow{{n}_{2}}\right| }
$$
⑤
公式③④⑤的右侧都带有绝对值符号,其原因是法向量和方向向量的取法可能改变它们夹角余弦的符号 (但不改变绝对值). 我们没有必要去跟踪每一个可能的选择, 分析可能出现的符号, 而是倒过来从我们的目标看, 无论是两条直线所成角的大小, 还是直线和平面所成角的大小,都约定取值在 0 至 $\frac{\pi }{2}$ 之间,两个平面所成的锐二面角 (或直二面角) 的平面角大小也在 0 至 $\frac{\pi }{2}$ 之间. 也就是说,无论我们所取向量夹角的余弦或正弦为何值, 我们所要求的角的三角函数值一定是非负的.
公式④左侧出现了正弦函数,其余两个公式左侧仍保留余弦函数. 教材对此有细节的分析, 教学中可以使用, 也可以让学生自行学习理解. 还可以让学生直观地理解和记住这里出现的函数: 如果几何对象和所对应的向量都平行 (公式③) 或者都垂直 (公式⑤),向量的夹角和几何对象所成的角相等或互补,从而公式中不改变函数名 (仍是余弦函数); 如果几何对象和所对应的向量一个平行, 一个垂直(公式④), 向量的夹角和几何对象所成的角互余, 所以要把余弦函数换成正弦函数.
例 5 是求空间中两直线所成角的大小. 恰当地构建空间直角坐标系后, 适当取直线的方向向量, 再利用公式③计算即可. 不过要注意,例 5 在公式之前出现,由于方向向量取得好, 没有出现负的余弦值, 因此有没有绝对值符号就无关紧要了. 如果教师愿意把例 5 所提供的到公式③的台阶提高一点,也可以选择其他方向向量,使得负的余弦值出现, 那样从例 5 到公式③就更平缓了.
例 6 是求空间直线与平面所成角的大小. 恰当地构建空间直角坐标系后, 求平面的法向量与直线的方向向量, 再利用公式④计算即可.
例 7 是求两个平面所成二面角的大小. 构建空间直角坐标系后, 选择平面的法向量, 再利用公式⑤先求出锐二面角的大小, 它的补角就是另一个二面角.
### 注意事项
1. 求平面法向量常常要用待定系数法. 由于法向量不是唯一的, 因此待定系数法给出的方程组不止一组解, 其中有的系数可以自由取值, 再解出其他系数.
2. 本节中常常会把几何问题和向量问题一起考虑, 特别要注意两个语境下一些表达的差别. 例如, 谈论平行时, 向量的情况等同于说共线, 但是在几何学语境中, 共线的两条直线 (即重合的两条直线) 不被认为是平行的. 因此, 前面提到的充要条件 “两条直线平行的充要条件是它们的方向向量平行”中的“两条直线”指的是“两条不同的直线”. 同样的道理, 充要条件 “两个平面平行的充要条件是它们的法向量平行”中的“两个平面”指的是 “两个不同的平面”. 不要简单地用 “ ${l}_{1}//{l}_{2} \Leftrightarrow {\overrightarrow{r}}_{1}//{\overrightarrow{r}}_{2}$ ” $\left( {{\overrightarrow{r}}_{1}\text{、}{\overrightarrow{r}}_{2}}\right.$ 分别是直线 ${l}_{1}\text{、}{l}_{2}$ 的方向向量)之类符号表述来代替相应的语言表述的充要条件,除非附加条件“ ${l}_{1}$ 不同于 ${l}_{2}$ ”.
3. 异面直线问题也是几何与向量的重要差别. 由于没有异面向量, 有时给我们带来很大的便利, 例如例 5 求的是两条异面直线所成的角, 几何方法有一定难度, 但向量法只要套用公式即可, 甚至无须知道这是两条异面直线. 但与异面直线相关的另外一些问题, 转为向量问题的又未必有明显的优势, 如求异面直线的距离问题.
4. 记住约定:两条直线所成角的大小、直线和平面所成角的大小都约定取值在 0 至 $\frac{\pi }{2}$ 之间. 在这些约定下公式③④才是正确的.
### 教学建议
空间向量是立体几何学习中一个有效的辅助工具, 不宜以空间向量的计算完全替代立体几何的学习. 空间向量方法解决立体几何问题一定要结合具体直观的图形讲授内容, 借助图形理解运算与几何对象的特征. 立体几何的理论体系的基本框架, 主要的定理、公式和演绎方法, 以及通过立体几何学习建立起来的空间感、空间问题抽象能力和空间图形的作图、读图、识图能力, 不应该由于向量方法的引入而被削弱. 因此, 在本节教学中一方面应关注立体几何的本体, 通过立体几何知识的回顾, 问题的分析, 理清向量方法解决问题的思路, 寻找立体几何与空间向量的连接点, 总结出本节的相关结论和公式. 特别地, 在第 3 小节三个公式的推导过程中, 要让学生看懂空间图形, 并从中找出角的大小的关系. 如能借助立体教具或几何教学软件模拟, 让学生体会其中的诀窍,则有事半功倍之效. 但在另一方面,也要显示空间向量在解决立体几何问题中的作用, 让学生体会在基本规则、基本方法建立之后, 向量方法常常就是套用成法、计算求解, 这有其十分明显的优势.
正如本章的许多内容都是平面向量的相应内容在空间的拓展与延伸, 利用空间向量解决立体几何问题也是用平面向量解决平面几何问题的拓展与延伸, 需要充分利用学生已有的利用平面向量解决平面几何问题的知识基础与学习经验 (参看必修课程 8.4 节)作类比与推广, 在拓展中获得新的意境.
#### 三、参考答案或提示
##### 3.1 空间向量及其运算
### 练习 3.1(1)
1. 空间向量可以任意平行移动, 所以没有异面向量概念.
2. 如 $\overrightarrow{AB}\text{、}\overrightarrow{A{A}_{1}}\text{、}\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$ ,答案不唯一.
3. (1) $2\overrightarrow{a} + 5\overrightarrow{b} - {24}\overrightarrow{c}$ . (2) $\overrightarrow{CA}$ .
练习 ${3.1}\left( 2\right)$
1. $\overrightarrow{DC} \cdot \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{DC} \cdot \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB}}\right) = \frac{1}{2}{a}^{2}$ ;
$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{BC} \cdot \left( {\overrightarrow{BE} - \overrightarrow{BD}}\right) = - \frac{1}{4}{a}^{2}.$
2. 由于空间向量在一条直线上的投影是其起点的投影指向终点的投影的向量, 必修第二册第 107 页上关于向量投影的和等于和的投影的证明完全适合于空间向量的情况 (不过, 图 8-2-5 最好改成显示空间向量的情况的图 3- R4,图中平面 $\alpha \text{、}\beta \text{、}\gamma$ 分别是过点 $O\text{、}B\text{、}C$ 且垂直于直线 $l$ 的平面,是为了让学生更好地建立空间图形的感觉而加上的), 于是, 如必修第二册第 108 页所说, 向量的数量积对向量加法的分配律就成立 (细节补充参看必修第二册教学参考资料第 71 页).
图 3-R4
习题 3.1
A 组
1.(1)与 $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ 有相等模的向量为: $\overrightarrow{{C}^{\prime }A}\text{、}\overrightarrow{B{D}^{\prime }}\text{、}\overrightarrow{{D}^{\prime }B}\text{、}\overrightarrow{C{A}^{\prime }}\text{、}\overrightarrow{{A}^{\prime }C}\text{、}\overrightarrow{D{B}^{\prime }}\text{、}\overrightarrow{{B}^{\prime }D}$ .
(2) $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{{A}^{\prime }{B}^{\prime }} = \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{{D}^{\prime }{C}^{\prime }}$ .
(3)略.
2. $\overrightarrow{{A}_{1}B} = \overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}} + \overrightarrow{{C}_{1}C} + \overrightarrow{CB} = - \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$ .
3. $\overrightarrow{AF} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AE} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow{A{A}^{\prime }} + \overrightarrow{{A}^{\prime }E}}\right) = \frac{1}{3}\overrightarrow{A{A}^{\prime }} + \frac{1}{6}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow{AD}$ .
4. (1) $- \frac{7}{2}$ .
5. 证明略.
6. (1)G、 $M$ 、 ${M}_{1}$ 共线,证明略. (2) $G$ 、 $N$ 、 ${N}_{1}$ 共线,证明略.
B 组
1. 证明略.
2. (1) $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AC} \cdot \left( {\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}}\right) = \frac{1}{2},\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}}{\left| \overrightarrow{AC}\right| \left| \overrightarrow{BD}\right| } = \frac{1}{2\left| \overrightarrow{BD}\right| }$ ,所以线段 ${BD}$ 增长时, $\cos \theta$ 减小. 又 $y = \cos \theta$ 在 $\left( {0,\frac{\pi }{2}}\right)$ 上是减函数,所以线段 ${BD}$ 增长时, 角 $\theta$ 增大.
(2)点 $D$ 在平面 ${ABC}$ 上的射影不可能在直线 ${BC}$ 上. 证明略.
3. 证明略.
#### 3.2 空间向量基本定理
练习 3.2
1.(1)假命题. (2)假命题. (3)真命题.
2. (1) $\overrightarrow{B{D}_{1}} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{A{A}_{1}} + \overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ ；
$\overrightarrow{{A}_{1}F} = \overrightarrow{{A}_{1}A} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DF} = - \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}.$
(2)由(1)及 $\overrightarrow{{B}_{1}C} = \overrightarrow{{B}_{1}B} + \overrightarrow{BC} = - \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}$ ,得 $\overrightarrow{{A}_{1}F} \cdot \overrightarrow{{B}_{1}C} = \left( {-\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}\right) \cdot ( - \overrightarrow{a} + \; \overrightarrow{c}) = 2{\left| \overrightarrow{a}\right| }^{2}$ .
(3)计算得到 $\overrightarrow{{A}_{1}F} \cdot \overrightarrow{DE} = 0$ . 所以, $\overrightarrow{{A}_{1}F} \bot \overrightarrow{DE}$ .
习题 3.2
A 组
1. $\overrightarrow{{D}_{1}B} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}\right)$ .
2. $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a}\right| \left| \overrightarrow{b}\right|$ 是 $\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}$ 的充分条件,但不是必要条件.
3. (1) $\lambda = 1,\mu = - 1,\nu = 1.$ (2) $\lambda = \frac{1}{2},\mu = \frac{1}{2},\nu = 1$ .
4. 证明略.
B 组
1. $O$ 为平面 ${ABC}$ 外一点,则点 $P$ 在平面 ${ABC}$ 上的充要条件是: 存在实数 $x$ 、 $y\text{、}z$ ,满足 $\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB} + z\overrightarrow{OC}$ ,且 $x + y + z = 1$ . 证明略.
2. 证明略.
3. (1) $\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{{B}_{1}C} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow{a} - \frac{1}{2}\overrightarrow{b} - \frac{1}{2}\overrightarrow{c}}\right) \cdot \left( {-\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}\right) = 0$ ,所以 $\overrightarrow{EF} \bot \overrightarrow{{B}_{1}C}$ .
(2) $\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{{C}_{1}G} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow{a} - \frac{1}{2}\overrightarrow{b} - \frac{1}{2}\overrightarrow{c}}\right) \cdot \left( {-\frac{1}{4}\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}}\right) = - \frac{1}{8}{\left| \overrightarrow{a}\right| }^{2} + \frac{1}{2}{\left| \overrightarrow{b}\right| }^{2} = \frac{3}{8}$ , $\cos \langle \overrightarrow{EF},\overrightarrow{{C}_{1}G}\rangle = \frac{\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{{C}_{1}G}}{\left| \overrightarrow{EF}\right| \left| \overrightarrow{{C}_{1}G}\right| } = \frac{\sqrt{51}}{17}.$
(3) $\frac{\sqrt{41}}{8}$ .
#### 3.3 空间向量的坐标表示
练习 3.3
1.(1)点 $P$ 在坐标平面上: ${xOy}$ 平面坐标 $\left( {x, y,0}\right)$ ； ${xOz}$ 平面坐标 $\left( {x,0, z}\right)$ ； ${yOz}$ 平面坐标 $\left( {0, y, z}\right)$ .
(2)点 $P$ 在坐标轴上: $x$ 轴 $\left( {x,0,0}\right)$ ； $y$ 轴 $\left( {0, y,0}\right)$ ； $z$ 轴 $\left( {0,0, z}\right)$ .
2. 向量 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 的夹角为 ${135}^{ \circ }$ .
3. $m = - 6, n = \frac{1}{3}$ .
习题 3.3
A 组
1. 以 $A$ 为坐标原点,分别以射线 ${AB}\text{、}{AD}\text{、}A{A}_{1}$ 为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴的正半轴建立空间直角坐标系,则长方体各顶点的坐标分别为 $A\left( {0,0,0}\right) \text{、}B\left( {{14},0,0}\right) \text{、}C({14}$ , $6,0)\text{、}D\left( {0,6,0}\right) \text{、}{A}_{1}\left( {0,0,{10}}\right) \text{、}{B}_{1}\left( {{14},0,{10}}\right) \text{、}{C}_{1}\left( {{14},6,{10}}\right) \text{、}{D}_{1}\left( {0,6,{10}}\right) .$
图 3-R5
2. 如图 3-R5,设正方形边长为 $a,\left| {PA}\right| = \left| {AD}\right| = a$ ,则有关点的坐标分别为 $A\left( {0,0,0}\right) \text{、}P\left( {0,0, a}\right) \text{、}B\left( {a,0,0}\right) \text{、}C(a, a$ , $0)\text{、}D\left( {0, a,0}\right)$ .
${AB}\text{、}{PC}$ 的中点分别是 $M\left( {\frac{a}{2},0,0}\right) \text{、}N\left( {\frac{a}{2},\frac{a}{2},\frac{a}{2}}\right)$ ,故 $\overrightarrow{MN} = \left( {0,\frac{a}{2},\frac{a}{2}}\right) ,\overrightarrow{DC} = \left( {a,0,0}\right) .$
3. (1)向量 $\overrightarrow{a}$ 、 $\overrightarrow{b}$ 的夹角为 $\frac{3}{4}\pi$ . (2)向量 $\overrightarrow{a}$ 、 $\overrightarrow{b}$ 所在直线的夹角 $\frac{\pi }{4}$ .
4. $D\left( {2,5, - 7}\right)$ .
5. $\cos \alpha = \frac{\left( {\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}}\right) \cdot \overrightarrow{c}}{\left| {\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}}\right| \left| \overrightarrow{c}\right| } = \frac{\left( {{a}_{1} - {b}_{1}}\right) x}{mx} = \frac{{a}_{1} - {b}_{1}}{m}$ .
B 组
1. $\angle {ABC} = \frac{3}{4}\pi$ .
2. (1) $7\sqrt{3}.\;$ (2) $\overrightarrow{a} = \left( {1,1,1}\right)$ 或 $\overrightarrow{a} = \left( {-1, - 1, - 1}\right)$ .
3. (1) $\overrightarrow{BN} = \left( {1, - 1,1}\right) ,\left| \overrightarrow{BN}\right| = \sqrt{3}$ . (2) $\cos \langle \overrightarrow{B{A}_{1}},\overrightarrow{C{B}_{1}}\rangle = \frac{\sqrt{30}}{10}$ . (3) 证明略.
#### 3.4 空间向量在立体几何中的应用
练习 3.4(1)
1. 证明略.
2. 证明略.
3. 证明略.
练习 ${3.4}\left( 2\right)$
1. $\frac{6}{7}$ .
2. $\frac{1}{2}$ .
练习 ${3.4}\left( 3\right)$
1. $\arccos \frac{5\sqrt{2}}{8}$ .
2.(1)证明略. (2)E是 ${AB}$ 的中点.
练习 3.4(4)
1. $\pi - \arccos \frac{2}{3}$ .
2. $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .
3. $\pi - \arccos \frac{1}{10}$ .
习题 3.4
A 组
1. $\arccos \frac{3\sqrt{10}}{10}$ .
2. 证明略.
3. $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{3}$ .
4. 证明略.
5. $\arccos \frac{\sqrt{5}}{5}$ 与 $\pi - \arccos \frac{\sqrt{5}}{5}$ .
6. (1) $\arcsin \frac{\sqrt{70}}{14}$ . (2) $\frac{5\sqrt{14}}{14}$ .
B 组
1. 证明略.
2.(1)证明略. (2) $\arccos \frac{2}{3}$ .
3. $\frac{\pi }{2}$ .
4. $\frac{\pi }{4}$ 与 $\frac{3\pi }{4}$ .
5. $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .
### 复习题
A 组
1. $M\left( {\frac{x + {x}^{\prime }}{2},\frac{y + {y}^{\prime }}{2},\frac{z + {z}^{\prime }}{2}}\right)$ .
2. $- \frac{{a}^{2}}{8}$ .
3. (1) $\overrightarrow{AD}$ 在 $\overrightarrow{AB}$ 方向上的投影向量是 $\left( {\frac{7}{3},\frac{7}{6},\frac{7}{6}}\right)$ ；
$\overrightarrow{AD}$ 在 $\overrightarrow{BC}$ 方向上的投影向量是 $\left( {0,0,0}\right)$ ;
$\overrightarrow{AD}$ 在 $\overrightarrow{CA}$ 方向上的投影向量是 $\left( {\frac{7}{2},0,\frac{7}{2}}\right)$ .
(2) $\frac{5\sqrt{3}}{3}$ .
4.(1)证明略.
(2) $\arcsin \frac{\sqrt{10}}{5}$ .
5. $\frac{\pi }{3}$ .
6.(1)证明略. (2) 2.
7.(1)证明略. (2) $\sqrt{2}$ .
8. (1) $\frac{\pi }{3}$ . (2) $\frac{5}{6}$ .
9. (1)证明略. (2) $\arccos \frac{2}{3}$ .
B 组
1. $\frac{\pi }{6}$ .
2.(1)证明略. (2) $\lambda + \mu + \nu = \frac{1}{3}$ .
3.(1)证明略.
(2) $\arccos \frac{\sqrt{15}}{15}$ .
4.(1)证明略. (2) $\arccos \frac{2}{3}$ 与 $\pi - \arccos \frac{2}{3}$ .
### 拓展与思考
1.(1)证明略. (2) $\lambda = 1$ . (3) $\left( {\frac{1}{3},1}\right)$ .
2.(1)证明略. (2) $\frac{\pi }{3}$ 或 $\frac{2\pi }{3}$ .
#### 四、相关阅读材料
### 参考文献
[1] 张景中,彭翕成. 绕来绕去的向量法[M]. 北京:科学出版社,2010.
[2] 赵生初. 向量观念下的直线方程与立体几何[M]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社,2020.